Sebuah balok bermassa M diikatkan pada sebuah pegas yang juga bermassa M. Konstanta pegas adalah k. Balok ditempatkan pada sebuah permukaan yang licin tanpa gesekan (lihat gambar). Carilah periode gerak osilasi sistem dengan menganggap amplitudo osilasinya kecil!
Penjelasan
Umumnya, sistem yang kita pelajari adalah sistem massa-pegas yang ideal; yaitu sebuah massa yang diikatkan di ujung sebuah pegas yang tak bermassa dan terletak di atas bidang yang licin tanpa gesekan. Pegas pada sistem ini selain tak bermassa, juga dianggap memenuhi hukum Hooke dengan konstanta pegas k. Periode osilasi untuk sistem ini adalah
Dalam keadaan sesungguhnya, kita tidak pernah bisa menemukan sebuah pegas ideal seperti di atas karena : semua pegas pasti memiliki massa. Selain it u hukum Hooke hanya dapat berlaku untuk amplitudo yang sangat kecil. Walaupun demikian, sistem ideal ini tetap merupakan model yang sangat bermanfaat karena untuk amplitudo getaran yang cukup kecil, hampir semua pegas akan memenuhi hukum Hooke. Selain itu, pada umumnya massa pegas selalu cukup kecil dibandingkan dengan massa balok yang dilekatkan.
Tetapi dalam soal ini, massa pegas tidak dapat diabaikan karena memiliki nilai yang sama dengan massa balok. Untuk menyelesaikan soal ini, kita tetap harus membuat sejumlah asumsi :
1. Pegas memenuhi hukum Hooke. Hal ini benar karena kita diminta untuk mencari periode osilasi untuk amplitudo yang cukup kecil.
2. Tidak terjadi gelombang pada pegas.
3. Permukaan bidang licin seperti dikemukakan dalam soal.
Andaikan bahwa periode sistem ini sama dengan periode sistem pegas-massa yang ideal. Oleh karena itu kita harus mengganti nilai massa pada persamaan sistem pegas-massa ideal dengan massa yang ekuivalen untuk sistem kita yang massa pegasnya tidak bisa diabaikan.
Massa ekuivalen ini dapat dihitung dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik.
dengan m adalah massa ekuivalen.
Pertama, kita hitung dulu energi potensial pegas.
Misalkan L adalah panjang awal pegas, dan x adalah pertambahan panjang pegas, maka energi potensial elastis pegas adalah
Energi potensial balok adalah nol.
Selanjutnya, kita hitung energi kinetik balok dan pegas.
Energi kinetik balok adalah
Bagaimana dengan energi kinetik pegas? Tentu saja pegas juga memiliki energi kinetik, dan menentukan energi kinetik untuk pegas inilah yang menjadi bagian yang paling menantang dalam soal ini.
Untuk mencari energi kinetik pegas, kita asumsikan bahwa regangan pada pegas bersifat konstan terhadap keseluruhan panjang pegas. Ini berarti bahwa pertambahan panjang sebarang segmen pegas sebanding dengan panjang mula-mula segmen pegas tersebut.
Pandang pegas sebelum diregangkan seperti pada gambar berikut.
Misalkan titik A adalah sebuah titik sebarang pada pegas yang letaknya sejauh p dari sebuah titik tetap yang dijadikan acuan (titik dimana ujung pegas diikatkan secara tetap).
Setelah pegas teregang dengan pertambahan panjang sebesar x, seperti pada gambar di bawah ini, panjang pegas berubah dari L menjadi L + x.
Pada keadaan ini, maka posisi dari titik A ke ujung titik tetap juga akan berubah dari p menjadi p + p(x/L). Kecepatan titik A ini tentu saja sebesar
Sekarang, bayangkan sebuah segmen pegas sepanjang dp di sekitar titik A. Massa segmen pegas ini adalah
Sehingga energi kinetik keseluruhan pegas ini adalah
Atau
Oleh karena itu energi mekanik total sistem adalah
Atau
Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa massa ekuivalen sistem kita adalah (4/3)M.
Dengan demikian periode osilasi sistem ini adalah
atau
dengan T0 adalah periode sistem pegas-massa ideal. Jadi periode osilasi sistem kita adalah 
kali periode osilasi sistem yang ideal.
Secara fisis, manakah yang lebih lama periodenya sistem pegas-massa ideal atau sistem pegas-massa dalam soal di atas?
Penjelasan
Umumnya, sistem yang kita pelajari adalah sistem massa-pegas yang ideal; yaitu sebuah massa yang diikatkan di ujung sebuah pegas yang tak bermassa dan terletak di atas bidang yang licin tanpa gesekan. Pegas pada sistem ini selain tak bermassa, juga dianggap memenuhi hukum Hooke dengan konstanta pegas k. Periode osilasi untuk sistem ini adalah
Dalam keadaan sesungguhnya, kita tidak pernah bisa menemukan sebuah pegas ideal seperti di atas karena : semua pegas pasti memiliki massa. Selain it u hukum Hooke hanya dapat berlaku untuk amplitudo yang sangat kecil. Walaupun demikian, sistem ideal ini tetap merupakan model yang sangat bermanfaat karena untuk amplitudo getaran yang cukup kecil, hampir semua pegas akan memenuhi hukum Hooke. Selain itu, pada umumnya massa pegas selalu cukup kecil dibandingkan dengan massa balok yang dilekatkan.
Tetapi dalam soal ini, massa pegas tidak dapat diabaikan karena memiliki nilai yang sama dengan massa balok. Untuk menyelesaikan soal ini, kita tetap harus membuat sejumlah asumsi :
1. Pegas memenuhi hukum Hooke. Hal ini benar karena kita diminta untuk mencari periode osilasi untuk amplitudo yang cukup kecil.
2. Tidak terjadi gelombang pada pegas.
3. Permukaan bidang licin seperti dikemukakan dalam soal.
Andaikan bahwa periode sistem ini sama dengan periode sistem pegas-massa yang ideal. Oleh karena itu kita harus mengganti nilai massa pada persamaan sistem pegas-massa ideal dengan massa yang ekuivalen untuk sistem kita yang massa pegasnya tidak bisa diabaikan.
Massa ekuivalen ini dapat dihitung dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik.
Pertama, kita hitung dulu energi potensial pegas.
Misalkan L adalah panjang awal pegas, dan x adalah pertambahan panjang pegas, maka energi potensial elastis pegas adalah
Energi potensial balok adalah nol.
Selanjutnya, kita hitung energi kinetik balok dan pegas.
Energi kinetik balok adalah
Bagaimana dengan energi kinetik pegas? Tentu saja pegas juga memiliki energi kinetik, dan menentukan energi kinetik untuk pegas inilah yang menjadi bagian yang paling menantang dalam soal ini.Untuk mencari energi kinetik pegas, kita asumsikan bahwa regangan pada pegas bersifat konstan terhadap keseluruhan panjang pegas. Ini berarti bahwa pertambahan panjang sebarang segmen pegas sebanding dengan panjang mula-mula segmen pegas tersebut.
Pandang pegas sebelum diregangkan seperti pada gambar berikut.
Misalkan titik A adalah sebuah titik sebarang pada pegas yang letaknya sejauh p dari sebuah titik tetap yang dijadikan acuan (titik dimana ujung pegas diikatkan secara tetap).
Setelah pegas teregang dengan pertambahan panjang sebesar x, seperti pada gambar di bawah ini, panjang pegas berubah dari L menjadi L + x.
Pada keadaan ini, maka posisi dari titik A ke ujung titik tetap juga akan berubah dari p menjadi p + p(x/L). Kecepatan titik A ini tentu saja sebesar
Sekarang, bayangkan sebuah segmen pegas sepanjang dp di sekitar titik A. Massa segmen pegas ini adalah
Sehingga energi kinetik keseluruhan pegas ini adalah
Atau
Oleh karena itu energi mekanik total sistem adalah
Atau
Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa massa ekuivalen sistem kita adalah (4/3)M.
Dengan demikian periode osilasi sistem ini adalah
atau
dengan T0 adalah periode sistem pegas-massa ideal. Jadi periode osilasi sistem kita adalah 
kali periode osilasi sistem yang ideal.
Secara fisis, manakah yang lebih lama periodenya sistem pegas-massa ideal atau sistem pegas-massa dalam soal di atas?
Tidak ada komentar:
Posting Komentar